Ciencias
Administrativas. Teoría y Praxis
Num. 1 Año 13,
Enero-Junio 2017, pp. 148-159
Simulación
estocástica del tipo de cambio de monedas latinoamericanas respecto al dólar
estadounidense
Stochastic simulation of the exchange rate of latin american
currencies about the US dollar
Abigail Rodríguez-Nava*, Patricia
Margarita Dorantes-Hernández**, Ramón Garibay-Ayala***
Resumen
El objetivo
de este trabajo
es examinar las posibilidades de
simulación de las variaciones del tipo de cambio de algunas monedas
latinoamericanas respecto al dólar estadounidense; esto se realiza
a través de dos
modelos: el movimiento geométrico browniano
geométrico (GMB) y el proceso de Ornstein- Uhlenbeck (OU). Aunque las
propiedades de estos procesos son esenciales en el resultado de la simulación,
también es necesario tener en cuenta algunas hipótesis de la teoría económica, entre
ellas que cuanto
menor es el desarrollo de los mercados
financieros, mayor será la intervención del banco central en el mercado
cambiario; y que el control del tipo de cambio es utilizado como un instrumento
adicional de la política monetaria además
del objetivo tradicional de la tasa de interés. La investigación especialmente examina la política monetaria y la dinámica
del tipo de cambio en los
siguientes casos: peso argentino/dólar USD; peso mexicano/dólar USD; real
brasileño/dólar USD y peso chileno/ dólar USD; en cada uno de ellos, se
analiza la viabilidad de simular su
dinámica mediante procesos estocásticos.
Palabras clave: simulación
estocástica, tipo de cambio, mercados cambiarios.
Abstract
The objective
of this paper is to examine the possibilities of simulation of the exchange
rate variations of some Latin American currencies against the US dollar; It is
performed through two models: the geometric Brownian
geometric movement (GMB) and the Ornstein-Uhlenbeck process (OU).
Although the properties of these
processes are essential in the simulation results, it is also necessary to take into account some
hypotheses of economic theory, including the smaller the development of
financial markets, the mayor will be the intervention of the central bank in
the Exchange market; And that exchange rate control is used as an additional
instrument of monetary policy in addition to the
traditional objective of the interest rate. The research especially examines
monetary policy and the dynamics of the exchange rate in the following cases:
Argentine peso / dollar USD; Mexican Peso / US Dollar USD; Brazilian
real
/ dollar USD
and Chilean peso / dollar USD; In each
of them, the feasibility of simulating
its dynamics through stochastic processes is analyzed.
Keywords: Stochastic simulation, exchange rate, foreign
exchange markets.
Clasificacón JEL: B22,
C15, E17
*
Profesora-Investigadora,
Departamento Producción Económica, Universidad Autónoma metropolitana, Unidad
Xochimilco, Institución afiliadas ISEOR en Lyon-Francia y Red Mexicana de
Investigadores en Estudios Organizacionales REMINEO, E-mail: arnava@correo.xoc.uam.mx
** Profesora-Investigadora, Departamento Producción
Económica, Universidad Autónoma metropolitana, Unidad Xochimilco, Institución
afiliadas ISEOR en Lyon-Francia y Red Mexicana de Investigadores en Estudios
Organizacionales REMINEO, E-mail: dorantes@correo.xoc.uam.mx,
patamdhotmail.com
*** Maestría en Ciencias Económicas, por el IPN,
Técnico Académico, Departamento de Producción Económica, Unidad Xochi- milco,
UAM (Universidad Autónoma Metropolitana), E-mail: rgaribay@correo.xoc.uam.mx
Artículo
recibido: 3 de agosto de 2016 Artículo aceptado: 25 de septiembre de 2015
Introducción
La literatura
económico-financiera relacionada con la predicción del tipo de cambio se agrupa
en dos áreas. La primera de ella está relacionada con la intervención de la
política monetaria y en el tipo de cambio, y la segunda con la exploración de posibilidades de predicciones o
simulación del tipo de cambio, lo que se realiza también junto al análisis de
la dinámica de otras variables económicas y financieras. Ambas están
interrelacionadas, aunque debe resaltarse que los mejores ajustes en su
simulación son posibles si se atiende la calidad de los datos
de base y los modelos utilizados para representar las
expectativas de los agentes.
Una
de las metodologías más utilizadas para modelar el comportamiento futuro de las
series financieras es la de simulación de Monte
Carlo. A través de esta técnica, la dinámica de precios se representa por un
proceso estocástico específico, el elemento clave en la simulación es la generación de números
aleatorios de la distribución de probabilidad del proceso elegido. La simulación
obtenida por el proceso en cada
tiempo se calcula de forma recursiva, es decir,
la base para calcular el valor actual es el valor generado en el periodo
anterior. Las trayectorias simuladas pueden ser producidas para cualquier número
de periodos, pero por supuesto
entre mayor sea el número de trayectorias simuladas y menos volátil sea el
periodo histórico de muestra, los resultados serán más próximos a los esperados.
Uno
de los propósitos de este trabajo es contrastar el desempeño del movimiento
geométrico browniano (GMB) y los procesos Ornstein-Uhlenbeck (OU), como modelos
para la estimación de los cambios futuros en la variación del tipo de cambio
peso argentino/ dólar USD; peso
mexicano/dólar USD; real brasileño/dólar USD y peso chileno/dólar USD
Este trabajo
está organizado de la siguiente manera: la segunda sección
presenta una breve revisión de
la literatura especializada
concerniente a la
cuestión de la previsibilidad de series económicas y financieras, y
particularmente del tipo de cambio; en la tercera sección se muestran las
propiedades de los procesos estocásticos utilizados en el análisis; en la
cuarta sección se proporciona una discusión teórica de la simulación Monte
Carlo del tipo de cambio y los resultados obtenidos al aplicar los modelos
elegidos; finalmente, en la quinta sección se presentan las conclusiones de la
investigación.
Antecedentes teóricos
El trabajo de Fama
(1970) es ampliamente reconocido
como el origen de una de las principales explicaciones de las interrelaciones entre los mercados, según
la cual, los mercados son eficientes en la medida en que incorporan la nueva
información disponible; pueden encontrarse diferentes niveles o grados de eficiencia, la “eficiencia débil”
implica que los mercados solamente incorporan la información histórica
disponible, es decir, las
variaciones en los precios de bienes o activos responden lentamente y sólo a la
información ya plenamente conocida; la “eficiencia semi- fuerte” significa que los
mercados incorporan la información histórica y pública disponible, esto
concierne incluso la información de las empresas privadas, pero que es de divulgación
general; y la “eficiencia fuerte” indica que los mercados se ajustan a la información histórica, pública y privada.
Tal como describe Fama (1991), su trabajo
inicial de la década de los setenta, ha desembocado en multiplicidad de
estudios empíricos que pretenden evaluar la eficiencia de los mercados por
sectores específicos, al respecto, distingue tres tópicos fundamentales:
a) el objetivo de evaluar la capacidad predictiva de rendimientos
pasados sobre valores
de activos; b) el propósito de determinar si los precios de activos responden a nuevos
anuncios o información pública derivada del sector privado o asociada a las
condiciones macroeconómicas; y c) el objetivo de precisar
si la información privada puede incorporarse
en los precios de mercado.
La
hipótesis de los mercados eficientes ha
sido probada en gran número de investigaciones, por ejemplo, en el caso de la capacidad predictiva de algunos modelos,
destacan trabajos que estudian la dinámica de
los rendimientos de activos y su correlación con otros, incluso
investigaciones que asocian la evolución de los mercados a situaciones
estacionales. La capacidad
de influencia de la información pública y privada ha sido
examinada a través de distintas metodologías,
entre las que resalta los estudios de eventos.
Entre
los trabajos que buscan comprobar la hipótesis se encuentran por ejemplo el de
Duarte y Mascareñas (2014) que prueba a través de distintos modelos
econométricos que en al menos en cinco mercados bursátiles latinoamericanos: México, Brasil, Colombia, Chile y
Perú, se ha incrementado la eficiencia en los últimos años; en Oprean (2012),
se examina la eficiencia en el caso de la Unión Europea y de los mercados
emergentes de los BRIC; Dutt y Ghosh (1999), a través de análisis
de cointegración, comprueban la eficiencia de los mercados de divisas
entre países europeos y el dólar estadounidense y entre
mercados spot y futuros. En Dajcman,
Festic, y Kavkler (2013), a partir de un modelo Autorregresivo Integrado de
Promedios Móviles (ARIMA), se realizan pruebas de memoria larga y eficiencia en los mercados bursátiles de
países asiáticos. Pruebas de memoria larga también se realizan en Bhattacharya
y Bhattachary (2013), los autores encuentran que la utilidad de comprobar la memoria
larga se asocia con la capacidad predictiva de los rendimientos pasados, al
examinar el caso de los mercados de activos en países desarrollados.
Asimismo,
en Hwang y Heather (2014), se prueba la eficiencia del mercado accionario
británico, sobre todo resaltando la elección de portafolios eficientes de
Markowitz y el efecto tamaño de las empresas emisoras. En Dicle
y Levendis (2014) se
prueba el efecto día de la semana en 51 mercados bursátiles de 33 países, y
muestra que sí persiste este efecto en la mayoría de los casos. Harel, Harpaz y
Francis (2010) proponen un modelo teórico para determinar el estimador de
mínima varianza de los errores que pueda usarse como aproximación de la
dinámica de los rendimientos de series accionarias.
Con
respecto a los estudios sobre modelos de tipo de cambio destacan el de
Sutherland (2006), que examina los efectos de las fluctuaciones del tipo de
cambio en la estructura de plazos
de las tasas de interés.
El autor formaliza la dinámica del tipo de cambio a través del
movimiento browniano. También, Domowitz
y Hakkio (1985) investigan sobre la existencia de la prima de riesgo en el mercado de divisas, en su estudio
considera la oferta de cada moneda
se describe como un proceso estocástico autoregresivo de orden
uno. Hakkio y Leiderman
(1986) proponen un modelo para estimar el tipo de cambio forward como la suma de dos términos: el valor esperado de la variable en el corto plazo, y una prima de
riesgo, esta última medida como la covarianza entre el precio forward y la conveniencia de mantener divisas.
Bazdresch
y Werner (2000) analizan la volatilidad del tipo de cambio peso – dólar estadounidense entre
1995 y 2001, los autores comparan tres estimaciones
predictivas posibles del tipo de cambio: el tipo de cambio forward, los procesos autoregresivos, y la inclusión de
probabilidades de transición en ecuaciones autoregresivas. Asimismo, hay varias
propuestas para la inclusión de saltos de Poisson en los procesos
estocásticos que definen la
dinámica de las variables. Por ejemplo, Ball y Torous (1985) introducen saltos en la modelación de los rendimientos diarios de activos
listados en el NYSE (New York Stock
Exchange). Akgiray y Booth (1988), utilizan procesos de difusión con saltos
para modelar los tipos de cambio de la libra y de las monedas antes utilizadas franco y marco
alemán, todas
respecto al
dólar estadounidense, y
entre los años 1976 y 1985. En Chan (2003) se propone un modelo
bivariado con saltos de Poisson para simular el tipo de cambio del dólar
canadiense y del yen japonés frente al dólar
estadounidense y en Wang y Tong (2008) se estudian las ventajas de
modelar el tipo de cambio del renminbi – dólar estadounidense (RMB/USD) a través de un proceso
de difusión que incluye un
proceso de saltos de Poisson.
Metodología
El método de
simulación de Monte Carlo es ampliamente utilizado porque es muy útil para
examinar la posibilidad de replicar la dinámica de las variables financieras relevantes. La base para el empleo adecuado de esta metodología es la elección de los procesos
estocásticos que mejor
representen la dinámica de las variables
de interés; muchas veces con la finalidad de elegir modelos más verídicos, se
incluyen propiedades en los modelos que los hacen también más restrictivos, y en otras ocasiones,
los investigadores optan por los
modelos más sencillos con la
finalidad de que sean más sencillos para replicar, y con el objeto de
tener representaciones lo más
parsimoniosas posibles.
En
este documento se analiza la representación de
los tipos de
cambio peso argentino/dólar USD;
peso mexicano/ dólar USD; real brasileño/dólar USD y peso chileno/dólar USD a
través de tres modelos: el Movimiento
Geométrico Browniano (MGB), el proceso Ornstein – Uhlenbeck (OU) y el proceso
OU con saltos de Poisson.
La
dinámica de las series se muestra en las (figuras 1, 2 y 3) en las que se
presentan la evolución de la inflación, de la tasa de interés base de política
monetaria, así como la variación de los tipos de cambio; estos datos se obtuvieron
del Banco de
México y corresponden a los
valores observados diariamente. En dichas
gráficas se aprecia
que los mayores periodos de volatilidad ocurrieron entre septiembre y
noviembre de 2008, sin embargo, no deja de ser relevante la volatilidad
observada hacia finales de 2011 y
principios de 2013 para el tipo de cambio peso – dólar americano.
Figura 1. Tasa de inflación en Argentina,
Brasil, Chile y México 1990-2015
Figura 2. Tasa de interés de política
monetaria en Argentina, Brasil, Chile y México
Figura 3. Variación diaria de los tipos
de cambio en Argentina, Brasil, Chile y México
Es
importante destacar que la alta volatilidad observada del peso respecto a la
moneda estadounidense condujo a que las autoridades del Banco de México
recurrieran a mecanismos especiales para controlar las constantes
fluctuaciones, estos mecanismos fueron distintas modalidades de subastas de los
tipos de cambio. Los tipos de subastas que se realizaron en este periodo fueron:
a) Subastas con oferta variable trimestral- mente. Entre
mayo de 2003 y julio de 2008 se
efectuó la venta de dólares por subas- ta, cada trimestre se revisaba el monto
máximo a ofrecer.
b)
Subastas
extraordinarias. En casos de elevada volatilidad del tipo de cambio, el Banco
de México ha optado por ofrecer montos considerables de dólares, estos casos se
presentan en el Cuadro 1.
c) Subastas con precio mínimo. Entre el 9 de octubre de
2008 y el 9 de abril de 2010 se
realizaron este tipo de operaciones,
la principal característica es que se ofrecieron dólares a un tipo de
cambio mínimo resultante de multiplicar el valor fix del día anterior por el
factor 1.02. Desde la fecha inicial hasta el 6 de marzo de 2009, se ofrecieron
diariamente 400 millones de dólares, del 9 de marzo al 8 de junio de 2009 se ofrecieron 300 millones y del 9 de junio de 2009 al 9 de abril de 2010 se ofrecieron 250 millones de dólares
diarios. Aun cuando diariamente se ofrece la venta de dólares, no siempre se
han recibido solicitudes, por ejemplo, entre enero y abril de 2010 no se
asignaron dólares mediante este mecanismo.
d)
Subastas sin
precio mínimo. El esquema estuvo en vigencia entre el 9 de marzo y el 30 de septiembre de 2009, se distinguió
porque se subastaban dólares recibiendo libremente los montos y los valores
del tipo de cambio que
convinieran a los postores.
Procesos estocásticos
La descripción del
proceso GBM se atribuye a notables
investigadores como Bachelier (1990), Einstein (1956) y Wiener (1964). Este proceso se representa como:
(1)
Donde 
describe la dinámica del activo,
en nuestro caso, los rendimientos
del tipo de cambio, los parámetros de tendencia son la
media 
y la volatilidad que varían en el tiempo proporcionalmente con 
es un movimiento browniano.
En 1930, Uhlenbeck y Ornstein propusieron una versión del movimiento
geométrico browniano con reversión a la media para representar el movimiento de
una molécula de gas; en 1977 Vasicek recuperó
esa ecuación para modelar la dinámica de la tasa de interés de corto plazo, esta
ecuación es:
(2)
El proceso OU, también conocido como movimientogeométricobrownianoconreversión
a la media, tiene como propiedades
que: 
son
constantes positivas, la variable fluctúa, a lo largo del tiempo, en torno
a la media de largo
plazo ; si, entonces 
es forzada a disminuir y cuando
tiende a aumentar;
la velocidad de
ajuste la
determina a; b) ,
dado por lo que
puede tomar valores negativos; si entonces
la media converge al parámetro b y la volatilidad converge hacia .
La
representación del proceso OU con saltos de Poisson puede representarse como:
(3)
Esta
ecuación indica que la
variación del tipo de cambio
presenta fluctuaciones cercanas a su nivel promedio de largo plazo b
, con una velocidad de ajuste a , si ocurre que la variación del tipo de cambio tiende
a disminuir, en cambio, si la variación
tiende a aumentar. es un proceso Wiener estandarizado ( muestra incrementos
normales independientes, esperanza matemática
cero y varianza es
un proceso Poisson homogéneo
(su intensidad es independiente del tiempo), 
es la intensidad de
un salto de Poisson, y 
es el tamaño
medio esperado del salto. Suponemos además que los procesos estocásticos
incluidos en (3) no están correlacionados.
Es
importante destacar que al emplear estos modelos, se pretende simular las
variaciones de los tipos de cambio, no sus niveles, esto se debe precisamente a
las propiedades del modelo, porque la simulación puede originar resultados
negativos.
El procedimiento para realizar la simulación
Monte Carlo es el siguiente:
a)
En primer
término se generan n series de números
aleatorios para representar el parámetro de incertidumbre del proceso
estocástico. Si los números aleatorios generados tienen distribución uniforme,
éstos se transforman en números
aleatorios con distribución normal
utilizando el método Box-Müller:
(4)
Donde U1 y U2 son variables aleatorias uniformes y a1 y a2 son variables aleatorias normales.
Cada serie de números
aleatorios
proporciona una trayectoria del proceso estocástico que se desea simular.
b)
El proceso estocástico debe representarse en forma
discreta. Por conveniencia se eligió el
método exacto para la discretización de la ecuación estocástica. Considerando
que se desea simular la variación del IPC, no su magnitud, la discretización de
las ecuaciones (1), (2) y (3) está dada por:
(5)
(6)
(7)
c)
Se estiman los parámetros de las ecuaciones anteriores. En el caso del
MGB, la identificación de los parámetros, media
y varianza 
, sólo requiere la estadística descriptiva de la serie. En el caso del
proceso OU, la definición
de los parámetros a, b de las
ecuaciones anteriores requiere realizar una estimación de Mínimos Cuadrados
Ordinarios (MCO) a partir de las variaciones observadas de la serie IPC. Del
análisis de regresión se obtienen los estimadores y, que se utilizan
como: y
por lo tanto,
Para el proceso OU
con saltos de Poisson 
se consideró que el número
de éstos es la cantidad de observaciones que
superan tres desviaciones estándar (por encima
o por debajo de la
media); el número de saltos por unidad de tiempo 
siempre es uno. La intensidad del salto 
, se calculó como el número de saltos
totales por unidad de tiempo entre el total de observaciones n; es decir:
El tamaño medio esperado del
salto, se calculó
como la varianza del proceso Poisson por unidad de tiempo entre el número de
saltos totales es decir:
d) Se generan n
trayectorias del proceso estocástico de forma recursiva
y se obtiene el promedio de éstas.
Resultados
Empíricos
Considerando la alta volatilidad
registrada en algunos periodos, para fines de la simulación se eligió
considerar los datos diarios del tipo de cambio entre enero de 2010 y julio de 2014 (tablas 1 y 2).
Tabla 1
Descripción
estadística de las variables del tipo de cambio
Fuente: elaboración propia a
partir de datos del Banco de México.
Tabla 2
Parámetros estimados de las ecuaciones MGB y OU
Fuente: Elaboración propia a
partir de datos del Banco de México.
Los datos del
Cuadro 2 indican los parámetros para los tipos de cambio Peso Argentino / USD,
Real Brasileño / USD, Peso chileno/USD y MXN/USD, presumiblemente los
casos en los que hay una menor intervención
en los mercados
por la autoridad monetaria,
hay menos volatilidad. En las (figuras
4, 5 y
6) se presenta la simulación Monte Carlo del MGB de estos
tipos de cambio.
Fuente: elaboración propia
Figura 4. Simulación Monte Carlo MGB del rendimiento del
tipo de cambio CLP/USD
Fuente: elaboración propia
Figura 5. Simulación Monte Carlo MGB del rendimiento
del tipo de cambio BRL/USD
Fuente: elaboración propia
Figura 6. Simulación Monte Carlo MGB del rendimiento del
tipo de cambio MXN/USD
Para comprobar
qué modelo proporciona un mejor ajuste a los datos observados, se compararon
los resultados de la simulación de
los últimos cien días del periodo analizado
con los datos reales, en cada caso se estimaron tanto el Error
Cuadrático Medio (RMSE)
y la Media Absoluta de Error
(MAE), éstos se definen como:
(8)
(9)
Donde Xt es
el dato observado,
Yt
es el valor
estimado, y T es
el número de
observaciones.
La comparación
se ilustra en la gráfica 7. Como puede observarse el proceso OU es el que mejor se ajusta a los datos,
aunque los periodos de mayor volatilidad
son mejor representados por el proceso OU con saltos de Poisson.
Fuente: elaboración propia
Figura
7. Observaciones y simulación
de los rendimientos de MXN/USD (Proceso UO con Saltos de Poisson)
Si bien, el
principal instrumento de la política monetaria es la tasa de interés, de manera
complementaria se utilizan, en México
y en otros países, otras variables que son relevantes por sus efectos
macroeconómicos como el tipo de cambio. Es por ello por esta razón en el
trabajo se examina la relevancia del tipo de cambio en la formalización teórica
de la política monetaria; y particularmente se examina la modelación del tipo
de cambio de algunas monedas latinoamericanas. Como resultados de la simulación
se muestra en qué casos ésta es más pertinente, esto por medio de la
determinación de los errores de discretización asociados como son el error
promedio absoluto y la raíz del error cuadrado medio.
Conclusiones
Se examinaron los casos del peso
argentino/ dólar USD; peso mexicano/dólar USD; real brasileño/dólar USD y peso chileno/dólar USD. En
estos casos el mejor ajuste
viene formando por el proceso
de MGB.
Los resultados
estimados revelan la interacción de las
autoridades monetarias en el control del tipo de cambio; se obtuvo
precisamente de errores más pequeños de la variación de los tipos de cambio
observados, los tipos de cambio se han controlado, aunque existe un régimen de flotación, el Banco de México
(Banxico), tiene una intervención constante en el modo de tipo de mercado.
Se debe rescatar la importancia de tener en cuenta
que los resultados estimados revelan
la interacción de las autoridades monetarias en
Referencias
Akgiray, V. & G., Booth.
(1988). Mixed-Diffusion Jump Process Modeling of
Exchange Rate Movements. The Review of Economics and Statistics,
70(4), 631–637.
Bachelier, L. (1990). Théorie de la spéculation.
Annales Scientifiques de l’École
Normale Supérieure. 3rd. Séries. (21-86).
el control del tipo de cambio; el
ajuste de los datos a los resultados de la simulación también están condicionados a los periodos de alta volatilidad
en los mercados cambiarios que se asocian a las condiciones macroeconómicas,
pero que no se encuentran representadas en el
modelo
En este trabajo
se estudió la posibilidad de simular las variaciones de los tipos de cambio
peso argentino/dólar USD; peso mexicano/ dólar USD; real brasileño/dólar USD y
peso chileno/dólar USD. Los errores de estimación más altos se derivan
de la simulación
de la variación de las monedas
por el proceso de MGB. En
contraste, se encontró
que los mejores ajustes ocurren
al emplear los procesos OU, y sólo en los periodos de alta volatilidad es más útil el proceso
OU con saltos de Poisson.
Sin embargo, se
debe rescatar la importancia de tener en cuenta que los resultados estimados
revelan la interacción de las
autoridades monetarias en el control de
la tasa de cambio; el ajuste de los datos a los resultados de la simulación
también están condicionados a los periodos de alta volatilidad en los mercados cambiarios que
se asocian a las condiciones macroeconómicas, pero que no se encuentran
representadas en el modelo.
Es muy probable
que los resultados de la simulación mejorarán considerablemente si se considera solo un horizonte limitado en la
estimación de los parámetros de la simulación, y siempre que se procure
elegir como base un periodo de datos de relativa estabilidad.
Ball, C. A., & Torous,
W. N. (1985). On Jumps in Stock
Prices and their
Impact on Call
Pricing. Journal of Finance, 40(1), 337 – 351.
Bhattacharya,
S. N., & M. Bhattachary (2013). Long memory in return stocks from developed markets.
Cuadernos de Gestión, 13(2),
127-143.
Bazdresch, S.,
& Werner, A. (2002). El comportamiento del tipo de cambio en México y el
Régimen de libre flotación: 1996 – 2001. Recuperado de http:// www.banxico.org.mx/publicaciones-y-
discursos/publicaciones/documentos-de- investigacion/banxico/%7B551708AA-
9D83-687A-03C1-50DEA76A1F12%7D.
pdf.
Chan, W. H. (2003). A Correlated Bivariate
Poisson Jump Model for Foreign
Exchange, Empirical Economics,
28(4), 669 -685.
Dajcman, S., Festic M., & Kavkler, A. (2013). Long Memory
in the Returns
of Stock Indices and Major Stocks Listed in Three
Central and Eastern European
Countries. Economic Computation and Economic
Cybernetics Studies & Research, 47(4),
239-258.
Dicle, M. & Levendis, J. (2014). The
Day of the Week Effect Revisited:
International Evidence. Journal of
Economics and Finance, 38(3),
407-437.
Domowitz, I. & Hakkio,
C. S. (1985). Conditional Variance and the Risk Premium in the Foreign Exchange Market. Journal of International Economics, No. 19(2),
47-66.
Duarte, J. B.,
& Mascareñas, J. M. (2014).
Comprobación de la eficiencia débil
en los principales mercados
financieros latinoamericanos. Estudios
gerenciales, 30(133), 365-375.
Dutt, S. D., & Ghosh, D. (1999). A
Note on the Foreign Exchange Market
Efficiency Hypothesis. Journal of
Economics and Finance, 23(2),
157-161.
Einstein, A. (1956). Investigations the Theory of the Brownian Movement, BN Publishing. Recuperado de
https://www.abebooks. com/book-search/title/investigations-theory- brownian-movement/.
Fama, E. F. (1970). Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work. The Journal of Finance, 25(2),
383-417.
Fama, E. F. (1991). Efficient Capital Markets: II.
The
Journal of Finance, 46(5),
1575-1617.
Hakkio, C. S.,
& Leiderman, L. (1986). Intertemporal Asset Pricing and the Term Structures
of Exchange Rates and Interest Rates. European
Economic Review, 0(2), 325-344.
Harel, A. G., & Francis, J. C. (2011). Analysis of Efficient Markets. Review of Quantitative
Finance and Accounting, 36(2), 287-296.
Hwang, T.
G., & Heather, O. (2014).
Markowitz Efficiency and Size Effect: Evidence
from the UK Stock Market. Review of Quantitative Finance and Accounting, 43(4), 721-750.
Oprean, C. (2012). Testing Informational
Efficiency: The Case of UE and BRIC Emergent Markets. Studies and Business and Economics, 7(3), 94-112.
Platen, E. (2008). Simulation Methods for Stochastic Differential Equations en S. Detlef, C. Weinhardt y F. Schlottmann
(Eds.), Handbook of Information Technology in Finance.
(501-514). NY: John Wiley & Sons
Sutherland, A.
(2006). Currency Crises and the Term Structure of Interest Rates, Open Economies Review, 17(1),
17-51.
Uhlenbeck, G.
E., & Ornstein, L. S. (1930). On the Theory of Brownian Motion. Physical Review, 36(5), 823-841.
Vasicek, O. (1977). An Equilibrium
Characteri- zation of the Term Structure. Journal
of Fi- nancial Economics, 5(2),
177-188.
Wang, Y.,
& Tong, H. (2008). Modeling and Estimating the Jump Risk of Exchange Rates:
Applications to RMB. Physica A,
(387), 6575-6583.
Wiener, N. (1964). Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series.
Cambridge, MA: MIT press.
